Шахматная доска без двух углов
С шахматной доски 8 × 8 вырезали две клетки в противоположных углах. Осталось 62 клетки.
Можно ли покрыть оставшуюся часть доски 31 доминошкой, если каждая доминошка закрывает ровно две соседние клетки?
Подсказка
Не пытайтесь перебирать варианты раскладки. Посмотрите на цвета клеток: какие клетки закрывает одна доминошка?
Решение
Любая доминошка закрывает две соседние клетки, а соседние клетки на шахматной доске всегда разного цвета. Значит, каждая доминошка закрывает одну белую и одну чёрную клетку, и 31 доминошка закроет ровно 31 белую и 31 чёрную.
Но противоположные угловые клетки одного цвета. После того как их вырезали, осталось 32 клетки одного цвета и 30 другого. Поровну их не разделить.
Ответ: нельзя. Идея задачи — инвариант: свойство, которое не меняется, как бы мы ни раскладывали фигуры.
Архив
Нули на конце
Сколькими нулями оканчивается число 100! = 1 · 2 · 3 · … · 100?
Решение
Каждый ноль на конце — это множитель 10 = 2 · 5. Двоек среди множителей гораздо больше, поэтому считаем пятёрки. Чисел, кратных 5, до 100 — двадцать. Числа 25, 50, 75 и 100 дают по второй пятёрке — ещё четыре.
Ответ: 20 + 4 = 24 нуля.
Верёвка вокруг Земли
Верёвку туго натянули вокруг Земли по экватору, затем удлинили на 1 метр и подняли равномерно над поверхностью. Пролезет ли под ней кошка?
Решение
Если радиус Земли R, а верёвка поднялась на h, то 2π(R + h) = 2πR + 1, откуда h = 1 / (2π) ≈ 0,16 м.
Ответ: пролезет — зазор около 16 см. Удивительно, что ответ вообще не зависит от размера шара: для апельсина было бы те же 16 см.
Всегда делится на 6
Докажите, что при любом целом n число n³ − n делится на 6.
Решение
Разложим: n³ − n = (n − 1) · n · (n + 1) — произведение трёх последовательных целых чисел.
Среди трёх подряд идущих чисел одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно чётное. Значит, произведение делится на 2 и на 3, то есть на 6.
Рыцарь и лжец
На острове живут рыцари (всегда говорят правду) и лжецы (всегда лгут). Житель A сказал: «Хотя бы один из нас двоих — лжец». Кто такие A и его собеседник B?
Решение
Если бы A был лжецом, его слова были бы ложью, то есть лжецов среди них не было бы вовсе — но ведь A лжец. Противоречие.
Значит, A — рыцарь, и его слова правдивы: лжец среди них есть, и это B.
Ответ: A — рыцарь, B — лжец.
Рукопожатия
Встретились 10 друзей, и каждый пожал руку каждому ровно один раз. Сколько было рукопожатий?
Решение
Каждый из 10 человек пожал 9 рук — получается 90. Но так каждое рукопожатие посчитано дважды: и у одного участника, и у другого.
Ответ: 90 : 2 = 45.
Задача маленького Гаусса
Найдите сумму всех чисел от 1 до 100, не складывая их по очереди.
Решение
Разобьём числа на пары с краёв: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, … В каждой паре сумма 101, а пар — 50.
Ответ: 50 · 101 = 5050.